Passons maintenant aux choses sérieuses ! 🎪 Dans cette leçon, nous allons étudier les événements composés, c’est-à-dire des expériences qui comportent plusieurs étapes. La grande question : avec ou sans remise ?

🔄 Tirage avec remise

Dans un tirage avec remise, après avoir tiré un élément, on le remet dans l’urne avant de tirer le suivant. Les différents tirages sont indépendants.

Exemple : On tire une boule, on note sa couleur, on la remet, on mélange, et on tire une deuxième boule.

Caractéristique : La composition de l’urne reste la même à chaque tirage.

🚫 Tirage sans remise

Dans un tirage sans remise, on ne remet pas l’élément tiré. Les tirages sont dépendants.

Exemple : On tire une boule, on note sa couleur, on la garde aside, et on tire une deuxième boule.

Caractéristique : La composition de l’urne change après chaque tirage.

🌳 La méthode des arbres pondérés

L’arbre pondéré est un outil fantastique pour visualiser et résoudre les problèmes de probabilités composées !

Règles de construction :

• Chaque branche représente un résultat possible
• Sur chaque branche, on note la probabilité de l’événement
• La probabilité d’un chemin est le produit des probabilités des branches

Exemple concret : Une urne contient 3 boules rouges et 2 boules vertes. On tire successivement 2 boules.

Cas 1 : Avec remise

Voici l’arbre pondéré pour deux tirages avec remise :

Arbre pondéré :
Départ
├── R (3/5)
│ ├── R (3/5) → P = 9/25
│ └── V (2/5) → P = 6/25
└── V (2/5)
├── R (3/5) → P = 6/25
└── V (2/5) → P = 4/25

Probabilité d’obtenir deux boules rouges :

Probabilité d’obtenir deux boules rouges :

Cas 2 : Sans remise

Maintenant, le même problème mais sans remise :

Départ
├── R (3/5)
│ ├── R (2/4) → Issue : RR → Probabilité : (3/5) × (2/4) = 6/20
│ └── V (2/4) → Issue : RV → Probabilité : (3/5) × (2/4) = 6/20
└── V (2/5)
├── R (3/4) → Issue : VR → Probabilité : (2/5) × (3/4) = 6/20
└── V (1/4) → Issue : VV → Probabilité : (2/5) × (1/4) = 2/20

Probabilité d’obtenir deux boules rouges :

📝 Méthode de résolution complète

Étapes à suivre :

1. Identifier si c’est un tirage avec ou sans remise
2. Construire l’arbre pondéré
3. Noter les probabilités sur chaque branche
4. Multiplier les probabilités le long du chemin qui nous intéresse

Exercice guidé : Dans une classe de 30 élèves (18 filles et 12 garçons), on choisit au hasard successivement 2 élèves sans remise. Quelle est la probabilité de choisir deux filles ?

Solution :

Premier tirage :

Deuxième tirage (sans remise) :

Probabilité totale :

🔍 Attention : Ne confonds pas « avec remise » (indépendant) et « sans remise » (dépendant) ! C’est la différence fondamentale de cette leçon.

🎉 Récapitulatif : Tu maîtrises maintenant les tirages avec et sans remise ! L’arbre pondéré est ton meilleur ami pour ces situations. Souviens-toi : avec remise = probabilités constantes, sans remise = probabilités qui changent.