🔗 Introduction aux fonctions composées

Une fonction composée est une fonction formée par l’application successive de deux fonctions. Si on a u et v, la composée v ∘ u se lit « v rond u » et est définie par :

Par exemple, si u(x) = 2x + 1 et v(x) = x², alors (v ∘ u)(x) = v(u(x)) = (2x + 1)².

🎯 La formule de dérivation des fonctions composées

Pour dériver une fonction composée f(x) = v(u(x)), on utilise la règle suivante :

On peut retenir cette formule comme : « dérivée de l’intérieure × dérivée de l’extérieure appliquée à l’intérieure ».

📝 Cas particuliers importants

Voici quelques cas particuliers très fréquents :

• (uⁿ)’ = n × u’ × uⁿ⁻¹ (puissance d’une fonction)
• (√u)’ = u’/(2√u) (racine d’une fonction)
• (1/u)’ = -u’/u² (inverse d’une fonction)

🔍 Exemples détaillés pas à pas

Exemple 1 : Dériver f(x) = (3x² + 2)⁴

On identifie : u(x) = 3x² + 2 et v(X) = X⁴

• u'(x) = 6x
• v'(X) = 4X³

Application de la formule : f'(x) = u'(x) × v'(u(x)) = 6x × 4(3x² + 2)³

Donc : f'(x) = 24x(3x² + 2)³

Exemple 2 : Dériver g(x) = √(x³ – 5x)

On identifie : u(x) = x³ – 5x et v(X) = √X

• u'(x) = 3x² – 5
• v'(X) = 1/(2√X)

Application : g'(x) = u'(x) × v'(u(x)) = (3x² – 5) × 1/(2√(x³ – 5x))

Donc : g'(x) = (3x² – 5)/(2√(x³ – 5x))

🎨 Représentation visuelle de la composition

La composition peut se visualiser comme un enchaînement de transformations :

⚠️ Pièges à éviter

• Ne pas confondre (u ∘ v)(x) et (v ∘ u)(x) : l’ordre de composition est important !
• Ne pas oublier de multiplier par la dérivée de la fonction intérieure
• Vérifier l’ensemble de définition de la fonction composée

💡 Technique mnémotechnique

« Dériver de l’extérieur vers l’intérieur, sans oublier la chaîne ! » Pensez à une chaîne où chaque maillon doit être dérivé. Cette règle s’appelle d’ailleurs règle de la chaîne (chain rule en anglais).