Coefficients de corrélation

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Statistiques descriptives

Le coefficient de corrélation est une mesure statistique qui quantifie l’intensité et le sens de la relation linéaire entre deux variables quantitatives. Il nous indique à quel point les variables évoluent ensemble.

Définition du coefficient de corrélation linéaire

Le coefficient de corrélation linéaire de Pearson, noté r, varie entre -1 et +1 :

r = +1 : corrélation positive parfaite
r = -1 : corrélation négative parfaite
r = 0 : absence de corrélation linéaire

Calcul du coefficient r 🧮

Formule de Pearson

Le coefficient de corrélation se calcule avec la formule :

$r = \frac{\sum{(x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}}{\sqrt{\sum{(x_i - \bar{x})^2} \times \sum{(y_i - \bar{y})^2}}}$

Cette formule peut sembler complexe, mais elle se décompose en étapes simples.

Exemple détaillé 📋

Reprenons nos données sur les heures d’étude et les notes :

Heures (x)	Note (y)	x-ẍ	y-ȳ	(x-ẍ)(y-ȳ)	(x-ẍ)²	(y-ȳ)²
2	8	-4	-5,6	22,4	16	31,36
4	12	-2	-1,6	3,2	4	2,56
6	14	0	0,4	0	0	0,16
8	16	2	2,4	4,8	4	5,76
10	18	4	4,4	17,6	16	19,36
Total				48	40	59,2

Étape 1 : Calcul de la covariance

$\text{cov}(x,y) = \frac{\sum{(x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}}{n} = \frac{48}{5} = 9,6$

Étape 2 : Calcul des écarts-types

$\sigma_x = \sqrt{\frac{\sum{(x_i - \bar{x})^2}}{n}} = \sqrt{\frac{40}{5}} = \sqrt{8} \approx 2,83$

$\sigma_y = \sqrt{\frac{\sum{(y_i - \bar{y})^2}}{n}} = \sqrt{\frac{59,2}{5}} = \sqrt{11,84} \approx 3,44$

Étape 3 : Calcul de r

$r = \frac{\text{cov}(x,y)}{\sigma_x \times \sigma_y} = \frac{9,6}{2,83 \times 3,44} \approx 0,985$

Nous obtenons un coefficient de corrélation très proche de 1, indiquant une forte corrélation positive.

Interprétation des valeurs de r 🔍

Échelle d’interprétation

0,9 ≤ |r| ≤ 1,0 : corrélation très forte
0,7 ≤ |r| < 0,9 : corrélation forte
0,5 ≤ |r| < 0,7 : corrélation modérée
0,3 ≤ |r| < 0,5 : corrélation faible
0,0 ≤ |r| < 0,3 : corrélation très faible ou nulle

Signification du signe

Le signe de r indique le sens de la relation :

r > 0 : les variables varient dans le même sens
r < 0 : les variables varient en sens opposé

Représentations graphiques selon r 📊

Voici différents nuages de points selon la valeur de r :

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Corrélation vs causalité ⚠️

Attention aux interprétations abusives !

Une erreur fréquente est de confondre corrélation et causalité :

Corrélation : les variables varient ensemble
Causalité : une variable cause la variation de l’autre

Exemple classique 🍦

Il existe une forte corrélation positive entre les ventes de glaces et le nombre de noyades. Cela ne signifie pas que manger des glaces cause des noyades ! Les deux phénomènes sont causés par une troisième variable : la chaleur estivale.

Coefficient de détermination R² 📐

Définition et calcul

Le coefficient de détermination R² est le carré du coefficient de corrélation :

$R^2 = r^2$

Dans notre exemple :

$R^2 = (0,985)^2 \approx 0,97$

Interprétation de R²

R² représente la proportion de variance de y expliquée par x. Dans notre cas, 97% de la variation des notes est expliquée par le temps d’étude.

C’est un indicateur très utile pour évaluer la qualité d’un modèle de régression.

Applications pratiques 🌍

Domaines d’utilisation

Recherche médicale : relation entre traitement et guérison
Finance : corrélation entre actions
Météorologie : relation température/vent
Éducation : corrélation présence/réussite

Cas d’étude en psychologie 🧠

Une étude cherche à déterminer s’il existe une corrélation entre le temps passé sur les réseaux sociaux et le niveau de stress.

Données collectées :

r = 0,72 (corrélation forte positive)
R² = 0,52 (52% de la variance du stress expliquée)

Interprétation : il existe une relation significative, mais d’autres facteurs influencent aussi le stress.

Limites et précautions 🚨

Points importants à retenir

La corrélation ne prouve pas la causalité
Elle mesure seulement les relations linéaires
Elle est sensible aux valeurs aberrantes
La taille de l’échantillon influence la significativité

Test de significativité

Pour des échantillons de taille n, on peut tester si r est significativement différent de 0. En général, pour n ≥ 30, un |r| ≥ 0,35 est considéré comme significatif.

Récapitulatif mnémotechnique 🧠

r = +1 : parfaitement aligné ↗️

r = -1 : parfaitement opposé ↘️

r = 0 : pas de relation linéaire ➡️

R² = part expliquée de la variance

Pensez à r comme rapport et R² comme Rendement du modèle !