Dérivée et règles de dérivation

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Limites, continuité et dérivation

🎯 Qu’est-ce que la dérivée ?

La dérivée d’une fonction en un point mesure le taux de variation instantané de cette fonction. Géométriquement, elle représente la pente de la tangente à la courbe représentative de la fonction en ce point. 📐

La dérivée de f en a est définie par :

$f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}$

🔍 Exemple de calcul

Calculons la dérivée de f(x) = x² en x = 3 :

$f'(3) = \lim_{h \to 0} \frac{(3+h)^2 - 3^2}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{9 + 6h + h^2 - 9}{h} = \lim_{h \to 0} (6 + h) = 6$

📚 Règles fondamentales de dérivation

1. Dérivée d’une constante

Si f(x) = k (constante), alors f'(x) = 0

$\frac{d}{dx}(k) = 0$

2. Dérivée de xⁿ (puissance)

Si f(x) = xⁿ, alors f'(x) = nxⁿ⁻¹

$\frac{d}{dx}(x^n) = n x^{n-1}$

Exemple : f(x) = x⁵ ⇒ f'(x) = 5x⁴

3. Dérivée d’une somme

$(f + g)'(x) = f'(x) + g'(x)$

4. Dérivée d’un produit

$(f \cdot g)'(x) = f'(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g'(x)$

5. Dérivée d’un quotient

$\left(\frac{f}{g}\right)'(x) = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{[g(x)]^2}$

6. Dérivée d’une composée (règle de chaîne)

$(f \circ g)'(x) = f'(g(x)) \cdot g'(x)$

🔢 Tableau des dérivées usuelles

Voici les dérivées des fonctions les plus courantes :

Fonction	Dérivée
f(x) = k (constante)	f'(x) = 0
f(x) = xⁿ	f'(x) = nxⁿ⁻¹
f(x) = √x	f'(x) = 1/(2√x)
f(x) = eˣ	f'(x) = eˣ
f(x) = ln(x)	f'(x) = 1/x
f(x) = sin(x)	f'(x) = cos(x)
f(x) = cos(x)	f'(x) = -sin(x)