Calculs de probabilités

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Probabilités

Maîtriser les calculs probabilistes 📊

Maintenant que nous connaissons le vocabulaire de base, voyons comment calculer concrètement des probabilités dans diverses situations.

Probabilités conditionnelles

La probabilité conditionnelle mesure la probabilité qu’un événement A se réalise sachant qu’un événement B est déjà réalisé. Elle se note P(A|B) et se calcule ainsi : $P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} \quad \text{avec} \quad P(B) \neq 0$ Exemple : Dans une classe de 30 élèves, 18 filles et 12 garçons. 10 filles et 4 garçons pratquent le tennis. Quelle est la probabilité qu’un élève pratiquant le tennis soit une fille ? • A = « être une fille » • B = « pratiquer le tennis » $P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{10/30}{14/30} = \frac{10}{14} = \frac{5}{7}$

Formule des probabilités totales

Si les événements B₁, B₂, …, Bₙ forment une partition de Ω (ils sont incompatibles deux à deux et leur réunion donne Ω), alors pour tout événement A : $P(A) = P(A \cap B_1) + P(A \cap B_2) + ... + P(A \cap B_n)$ Ou encore : $P(A) = P(A|B_1)P(B_1) + P(A|B_2)P(B_2) + ... + P(A|B_n)P(B_n)$

Représentation visuelle :

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Exemple d’application

Une usine possède trois machines produisant le même objet : M₁ (50% de production), M₂ (30%), M₃ (20%). Les taux de défauts sont : 2% pour M₁, 3% pour M₂, 5% pour M₃. Quelle est la probabilité qu’un objet pris au hasard soit défectueux ?

Soit D = « l’objet est défectueux » $P(D) = P(D|M_1)P(M_1) + P(D|M_2)P(M_2) + P(D|M_3)P(M_3)$ $P(D) = (0.02 \times 0.5) + (0.03 \times 0.3) + (0.05 \times 0.2) = 0.01 + 0.009 + 0.01 = 0.029$

Arbre de probabilités

Les arbres pondérés sont très utiles pour visualiser et calculer des probabilités, surtout quand plusieurs événements se succèdent :

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Sur les branches, on inscrit les probabilités conditionnelles. La probabilité d’un chemin est le produit des probabilités le long des branches.

Formule de Bayes

Cette formule permet de « inverser » les conditionnements : $P(B|A) = \frac{P(A|B) \times P(B)}{P(A)}$ Reprenons l’exemple de l’usine : Sachant qu’un objet est défectueux, quelle est la probabilité qu’il provienne de la machine M₁ ? $P(M_1|D) = \frac{P(D|M_1) \times P(M_1)}{P(D)} = \frac{0.02 \times 0.5}{0.029} \approx 0.3448$

Récapitulatif méthodologique

Pour résoudre un problème de probabilités :

Bien définir l’univers Ω et les événements
Représenter la situation (diagramme, arbre)
Identifier si les événements sont incompatibles/indépendants
Choisir la formule adaptée
Calculer méthodiquement
Vérifier que le résultat est cohérent (entre 0 et 1)

Avec de la pratique, ces calculs deviendront naturels ! 💪