Formes trigonométriques et exponentielles

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Nombres complexes

Forme trigonométrique d’un nombre complexe 🔄

Tout nombre complexe non nul z peut s’écrire sous forme trigonométrique :

$z = \lvert z \rvert (\cos\theta + i\sin\theta)$

où |z| est le module et θ = arg(z) est l’argument de z.

Exemple :

Pour z = 1 + i√3, on a |z| = 2 et arg(z) = π/3, donc :

$z = 2(\cos(\pi/3) + i\sin(\pi/3))$

Forme exponentielle d’un nombre complexe 🚀

La forme exponentielle utilise la formule d’Euler :

$e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta$

Ainsi, tout nombre complexe non nul z peut s’écrire :

$z = \lvert z \rvert e^{i\theta}$

où θ = arg(z).

Exemple :

Pour z = 1 + i, on a |z| = √2 et arg(z) = π/4, donc :

$z = \sqrt{2} e^{i\pi/4}$

Conversion entre les différentes formes 🔁

Pour passer de la forme algébrique z = a + ib à la forme exponentielle :

Calculer le module : $\lvert z \rvert = \sqrt{a^2 + b^2}$
Déterminer l’argument θ tel que : $\cos\theta = \frac{a}{\lvert z \rvert}$ et $\sin\theta = \frac{b}{\lvert z \rvert}$
Écrire : $z = \lvert z \rvert e^{i\theta}$

Exemple complet :

Convertir z = -√3 + i en forme exponentielle :

Module : $\lvert z \rvert = \sqrt{(-\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{3 + 1} = 2$

Argument : $\cos\theta = \frac{-\sqrt{3}}{2}$ et $\sin\theta = \frac{1}{2}$

Donc θ = 5π/6 (2ème quadrant)

Forme exponentielle : $z = 2e^{i5\pi/6}$

Avantages de la forme exponentielle ⚡

La forme exponentielle simplifie considérablement les calculs :

Multiplication : $z_1 z_2 = \lvert z_1 \rvert \lvert z_2 \rvert e^{i(\theta_1 + \theta_2)}$

Division : $\frac{z_1}{z_2} = \frac{\lvert z_1 \rvert}{\lvert z_2 \rvert} e^{i(\theta_1 - \theta_2)}$

Puissance n-ième (Formule de Moivre) : $z^n = \lvert z \rvert^n e^{in\theta} = \lvert z \rvert^n (\cos(n\theta) + i\sin(n\theta))$

Racine n-ième : $\sqrt[n]{z} = \sqrt[n]{\lvert z \rvert} e^{i(\theta + 2k\pi)/n}$ pour k = 0, 1, …, n-1

Application : calcul de puissances 🎯

Calculons (1 + i)¹⁰ en utilisant la forme exponentielle :

D’abord, convertissons 1 + i en forme exponentielle :

$\lvert 1 + i \rvert = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$

$arg(1 + i) = \pi/4$

Donc : $1 + i = \sqrt{2} e^{i\pi/4}$

Maintenant : $(1 + i)^{10} = (\sqrt{2})^{10} e^{i10\pi/4} = 2^5 e^{i5\pi/2} = 32 e^{i(\pi/2 + 2\pi)} = 32 e^{i\pi/2}$

Car $e^{i5\pi/2} = e^{i(\pi/2 + 2\pi)} = e^{i\pi/2}$ (période 2π)

Finalement : $32 e^{i\pi/2} = 32(\cos(\pi/2) + i\sin(\pi/2)) = 32(0 + i) = 32i$

Représentation graphique des formes 📈

Les différentes formes d’un nombre complexe correspondent à différentes manières de repérer un point dans le plan :

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Astuce mnémotechnique 💡

Pour retenir la formule d’Euler : « Euler unit cosinus et sinus dans l’exponentielle imaginaire ». Pour les conversions : « Module = distance, Argument = angle ».