Fonctions exponentielles et logarithmes

Analyse des fonctions

La fonction exponentielle 🚀

La fonction exponentielle, notée exp(x) ou e^x, est l’unique fonction égale à sa dérivée et valant 1 en 0.

$\frac{d}{dx}e^x = e^x$

$e^{a+b} = e^a \times e^b$

$e^{a-b} = \frac{e^a}{e^b}$

• e⁰ = 1

• e^x > 0 pour tout x réel

• lim_x→+∞ e^x = +∞

• lim_x→-∞ e^x = 0

Le logarithme népérien, noté ln(x), est la fonction réciproque de l’exponentielle :

$y = \ln x \Leftrightarrow x = e^y$

$\frac{d}{dx}\ln x = \frac{1}{x}$

$\ln(ab) = \ln a + \ln b$

$\ln(\frac{a}{b}) = \ln a - \ln b$

$\ln(a^n) = n \ln a$

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Les courbes de e^x et ln(x) sont symétriques par rapport à la droite y = x.

Exemple : Résoudre e^2x – 3e^x + 2 = 0

On pose X = e^x, l’équation devient X² – 3X + 2 = 0

Solutions : X = 1 ou X = 2

Donc e^x = 1 ⇒ x = 0 ou e^x = 2 ⇒ x = ln(2)

Pour retenir les propriétés : « L’exponentielle transforme les sommes en produits, le logarithme fait l’inverse ! »